Números Irracionales http://numerosirracionales.com Definición, Propiedades, Operaciones y Ejemplos de Números Irracionales Wed, 10 Dec 2014 04:15:42 +0000 es-ES hourly 1 Números Irracionaleshttp://numerosirracionales.com/numeros-irracionales http://numerosirracionales.com/numeros-irracionales#comments Sat, 13 Oct 2012 11:40:37 +0000 http://numerosirracionales.com/?p=19 El concepto de números irracionales proviene de la Escuela Pitagórica, que descubrió la existencia de números irracionales, es decir que no eran enteros ni racionales como fracciones. Esta escuela, los llamó en primer lugar números inconmensurables. Definición de números irracionales ¿Qué son números irracionales? Los números irracionales tienen como definición que son números que poseen […]

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El concepto de números irracionales proviene de la Escuela Pitagórica, que descubrió la existencia de números irracionales, es decir que no eran enteros ni racionales como fracciones. Esta escuela, los llamó en primer lugar números inconmensurables.

Definición de números irracionales

¿Qué son números irracionales? Los números irracionales tienen como definición que son números que poseen infinitas cifras decimales no periódicas, que por lo tanto no pueden ser expresados como fracciones.

Estos números pueden haber sido descubiertos al tratar de resolver la longitud de un cuadrado según el Teorema de Pitágoras, siendo el resultado el número

\sqrt2


, o raíz cuadrada de dos, el ejemplo de números irracionales más claro e inmediato, cuya respuesta a su vez posee infinitas cifras decimales que al no poder ser fraccionado, fue llamado irracional, en el sentido de no poder escribirlo como una ración o varias raciones o fracciones.

Para distinguir los números irracionales de los racionales, debemos tomar en cuenta que los números racionales si se pueden escribir de manera fraccionada o racional, por ejemplo: 18/5 que es igual a 3,6 por lo tanto es un número racional a diferencia de la raíz cuadrada de dos en cuyo resultado se obtienen infinito número de cifras decimales, y su fraccionamiento resulta imposible.

Podrías intentar encontrar la respuesta en una calculadora, y según el número de decimales con la cual la tengas programada, obtendrás algunos resultados: 1.4142135 esta es la respuesta de √2 con siete decimales, pero la cifra se irá alargando pues tiene infinitos decimales. De esta manera podemos definir a los números irracionales como un decimal infinito no periódico, es decir que cualquier representación de un número irracional, solo es una aproximación en números racionales.

Notación de los números irracionales

La representación gráfica de los números irracionales se la hace con la letras mayúsculas así: \mathbb{R} - \mathbb{Q}. Se la utiliza de esta manera para diferenciarla de los números imaginarios, cuya representación es la i minúscula. Pero el símbolo no se representa en las ecuaciones al no constituir una estructura algebraica, y para no crear confusión, en ocasiones se los puede ver como R/Q como la representación de números irracionales por definición.

Existen algunos casos especiales de números irracionales famosos que tienen su propia notación y simbología, estos casos serán tratados posteriormente.

Propiedades de los números irracionales

Además de ser un número infinito decimal no periódico, los números irracionales tienen otras propiedades como:

Propiedad conmutativa: en la suma y la multiplicación se cumple la propiedad conmutativa según la cual el orden de los factores no altera el resultado, por ejemplo, π+ϕ = ϕ+π; así como en la multiplicación, π×ϕ=ϕ×π.

Propiedad asociativa: donde la distribución y agrupación de los números da como resultado el mismo número, de manera independiente a su agrupación, siendo (ϕ+π)+e=ϕ+ (π+e); y de la misma manera con la multiplicación, (ϕ×π) ×e=ϕ× (π×e).

Elemento opuesto: existe un inverso aditivo, para la suma de números irracionales, es decir que para cada número tiene su negativo que lo anula, por ejemplo π-π=0 y de la misma forma un inverso multiplicativo que da como resultado 1, es decir ϕ×1/ϕ=1.

La multiplicación es distributiva en relación a la suma y a la resta. Ejemplo: (3+2) π =3π+2π=5π.

Clasificación de los números irracionales

Dentro de la recta real numérica existen varios conjuntos de números, pero dentro de los números irracionales hay más tipos para clasificar, estos son:

Número algebraico.- se les llama así a los números irracionales que surgen de resolver alguna ecuación algebraica y se escribe con un número finito de radicales libres o anidados. En general, las raíces no exactas de cualquier orden se encuentran dentro de este conjunto, es decir las raíces cuadradas, cúbicas, etc.

Número trascendente.- este es un número irracional que no puede ser representado a través de un número finito de radicales libres o anidados, estos provienen de otro tipo de operaciones llamadas funciones trascendentes utilizadas mucho en trigonometría, logaritmos, exponenciales, etcétera. Aunque también pueden surgir de la simple acción de escribir números decimales al azar sin periodicidad y sin un patrón determinado, podemos decir que son decimales infinitos.

Este último tipo, se diferencia del anterior porque no puede ser el resultado de una ecuación algebraica, en otras palabras, son relevantes a la clasificación porque no tienen una representación con un número radical.

Números irracionales famosos

Como se mencionaba anteriormente, existen números irracionales determinados que son utilizados en diferentes ramas, para operaciones específicas, algunos de ellos son:

Pi, o como se lo conoce mejor con su símbolo π, este es el más conocido de los números irracionales, y se utiliza en su mayoría para matemáticas, física e ingeniería. Su valor es el cociente entre la longitud o perímetro de la circunferencia y la longitud de su diámetro. De él se han calculado millones de cifras decimales y aún sigue sin ofrecer un patrón. La aproximación de su número es 3.141592653589...

Numero Irracional Pi

e es otro número irracional famoso, utilizado en cálculo más que nada, es llamado también número de Euler, y de él también se han calculado infinidad de decimales sin llegar a encontrar una repetición periódica. Sus primeros decimales son 2,718281828459…

El número áureo o razón de oro, representado con la letra griega ϕ o phi también es muy utilizado por muchos artistas, en especial se lo conoce por las proporciones corporales usadas por Leonardo da Vinci, cuya aproximación es 1,618033988749…

Ejemplos de números irracionales

En primer lugar vamos a anotar los ya mencionados números irracionales algebraicos con ejemplos, ya habíamos hablado de √2 o raíz cuadrada de dos que resulta de una ecuación algebraica, pero también tenemos otros ejemplos que podrían resultar son:

\frac{1+\sqrt{3}}{2}

y

\frac{\ \sqrt{1+\surd 3}}{4}


Por otro lado, tenemos a los números irracionales trascendentes, que no pueden representarse mediante radicales como se lo ha hecho en el ejemplo anterior, sino que deben ser representados con decimales infinitos no periódicos, y con tres puntos suspensivos para denotar que son infinitos, de lo contrario estaríamos escribiendo números durante toda la eternidad, así:

0,1961325454898161376813268743781937693498749…
0,01001000100001000001000000100000001000000001…

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Operaciones con Números Irracionaleshttp://numerosirracionales.com/operaciones-con-numeros-irracionales http://numerosirracionales.com/operaciones-con-numeros-irracionales#comments Sat, 13 Oct 2012 11:05:13 +0000 http://numerosirracionales.com/?p=62 Aquí vamos a discutir operaciones con números irracionales. Las operaciones con números irracionales Antes de empezar a sumar, restar, multiplicar, y realizar cualquier tipo de las operaciones con números irracionales, debemos comprender como extraer, e introducir factores dentro de los radicales que serán nuestro principal elemento dentro de estas operaciones. Extracción de factores Cuando tenemos […]

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Aquí vamos a discutir operaciones con números irracionales.

Las operaciones con números irracionales

Antes de empezar a sumar, restar, multiplicar, y realizar cualquier tipo de las operaciones con números irracionales, debemos comprender como extraer, e introducir factores dentro de los radicales que serán nuestro principal elemento dentro de estas operaciones.

Extracción de factores

Cuando tenemos radicales cuyos factores puedan ser reducidos o extraídos de la raíz podemos hacerlo siempre y cuando el exponente de la potencia sea igual o mayor que la raíz. En primer lugar ofrecemos un número cuyo exponente es mayor al de la raíz, por ejemplo:

\sqrt[3]{x^7}


Seguido de esto, debemos descomponer la potencia en varios factores, en este caso la potencia es 7 y podemos descomponerla en tres partes no iguales, tomando en cuenta que la multiplicación de un número potenciado se debe hacer sumando los potenciales existentes:

\sqrt[3]{{x^3\times x}^3\times x}


A continuación podemos apelar a la propiedad distributiva de los números irracionales (y en general de los radicales):

\sqrt[3]{x^3}\times \sqrt[3]{x^3}\times \sqrt[3]{x}


Luego simplificamos las potencias con las raíces iguales, lo que da como resultado:

x\times x\times \sqrt[3]{x}=x^2\times \sqrt[3]{x}

Cuando un número es lo suficientemente algo para poder descomponerlo por sus factores primos, podemos resolverlo de la siguiente manera, con este ejemplo:

\surd {\rm 72=}\sqrt{{{{\rm 3}}^{{\rm 2}}{\rm \times 2}}^{{\rm 3}}}{\rm =}


Se simplifican el índice de la raíz y el potencial al cuadrado del primer factor.

{\rm 3}\sqrt{{{\rm 2}}^{{\rm 3}}}


Y luego extraemos el factor de la raíz para simplificarla aún más.

{\rm 3\times \ 2}\sqrt{{\rm 2}}{\rm =6}\sqrt{{\rm 2}}

Introducción de factores en números irracionales

Existen dos formas de incluir un factor que está fuera de un radical para simplificar el número y poder solucionar un problema matemático. El primero se hace al aplicar las propiedades de las potencias de los números irracionales. Que se logra al elevar el factor a la potencia de la raíz a la vez que se sustrae la raíz del índice correspondiente, logrando así que el número no se altere al momento de realizar la operación de los números irracionales, aquí ofrecemos un ejemplo:

x^2\times \sqrt[3]{x}=


Primero se introduce y se eleva a la potencia de la raíz como a continuación:

\sqrt[3]{{\left(x^2\right)}^3}\times \sqrt[3]{x}=


En este caso podemos aplicar la propiedad asociativa, quedando nuestra ecuación de la siguiente manera:

\sqrt[3]{{\left(x^2\right)}^3\times x}


Luego aplicamos la operación llamada potencia de potencia, que al multiplicar los potenciales entre sí, nos permite simplificar el paréntesis así:

\sqrt[3]{x^6\times x}


Finalmente realizamos la operación del producto de ambas potencias, sumando los potenciales de cada número, lo cual nos queda:

\sqrt[3]{x^7}


Como segunda opción tenemos una forma más simple de resolver la introducción de factores en los números irracionales, que es un método que se debe practicar para lograr a la perfección, en el cual simplemente se multiplica el exponente de la potencia por el índice de la raíz, tomando en cuenta que si la raíz no tiene un número de índica, automáticamente asumimos que es 2, por ejemplo:

x^3\times \sqrt{x}=\sqrt{x^6\times x}=\sqrt{x^7}

Siga leyendo para saber todo sobre las operaciones con números irracionales:

Suma

Para poder sumar o restar los números irracionales, seguimos las reglas básicas de la matemática para la suma y resta de radicales, es decir que solo podemos sumar o restar los números que tienen radicales semejantes. Estos serían posibles números que podemos sumar o restar:

7\sqrt{3}


\frac{3}{4}\sqrt{3}


6\sqrt{3}


Para poder sumar estos números es necesario sumar con las leyes de la algebra, en otras palabras, necesitamos sacar el factor común, que en estos casos es el radical.

7\sqrt{3}+\frac{3}{4}\ \sqrt{3}-6\sqrt{3}=


\sqrt{3}\times \left(7+\frac{3}{4}-6\right)=


\frac{7}{4}\sqrt{3}


En el caso de que los números reales no tengan un radical semejante, el número quedará como una suma, llamada binomio irracional, que se expresa con los radicales dispares sumados:

8\sqrt{3}+4\sqrt{2}


En ocasiones surgen radicales que parecen no tener semejanza, pero al simplificar sus valores y extraer factores podemos llegar a una reducción y a una respuesta adecuada:

3\sqrt{32}-\frac{3}{4}\sqrt{18}+5\sqrt{2}=


3\sqrt{2\times 4^2}-\frac{3}{4}\ \sqrt{2\times 3^2}+5\sqrt{2}=


3\sqrt{4^2}\sqrt{2}-\frac{3}{4}\sqrt{3^2}\sqrt{2}+5\sqrt{2}=


3\times 4\sqrt{2}-\frac{3}{4}3\ \sqrt{2}+5\sqrt{2}=


12\sqrt{2}-\frac{9}{4}\sqrt{2}+5\sqrt{2}=


\frac{48}{4}\sqrt{2}-\frac{9}{4}\sqrt{2}+\frac{20}{4}\sqrt{2}=\frac{59}{4}\sqrt{2}

Multiplicación de números irracionales

En la multiplicación existen dos tipos de operación, la primera tiene que ver con los radicales que tienen un índice semejante, y la otra con radicales con índices diferentes.

Para resolver raíces del mismo índice, simplemente utilizamos la propiedad asociativa, reuniendo los distintos factores bajo el mismo radical, siendo así:

\sqrt[4]{x^2}\times \sqrt[4]{x}=\sqrt[4]{x^2\times x}=\sqrt[4]{x^3}


Para resolver multiplicaciones de índices diferentes, se debe hallar el índice común, utilizando el mínimo común múltiplo para así conseguir cifras semejantes en cada índice. Es decir, que se va multiplicando cada índice por un número determinado para obtener el mínimo común índice, pero para no alterar el resultado, también se deberá multiplicar por el mismo número los potenciales de cada factor dentro del radical correspondiente, es decir que si debo multiplicar el índice de la raíz por cuatro para obtener un mínimo común índice también se debe multiplicar por cuatro cada potencia de los números dentro de la raíz. Para finalmente utilizar la propiedad asociativa de los números irracionales. Por ejemplo:

\sqrt[4]{x^3}\times \sqrt[3]{x^2}=


\sqrt[{4\times 3}]{x^{3\times 3}}\times \sqrt[{3\times 4}]{x^{2\times 5}}=


\sqrt[{12}]{x^9\times x^{10}}=


\sqrt[{12}]{x^{19}}=


x\times \sqrt[{12}]{x^7}

Racionalización de números irracionales

La racionalización es una costumbre matemática, según la cual, en la respuesta final de una operación, no debe quedar un radical en el denominador de una fracción. Es decir, que en un número fraccionario, la mitad inferior debe ser un número entero. La idea es reducir los radicales mediante la extracción o introducción de factores y la multiplicación igualitaria de otro radical tanto en el denominador como en el numerador para anular los radicales del denominador. Tenemos el siguiente caso:

\frac{1}{\sqrt[5]{x^3}}=


\frac{1}{\sqrt[5]{x^3}}\times \frac{\sqrt[5]{x^2}}{\sqrt[5]{x^2}}=


\frac{\sqrt[5]{x^2}}{\sqrt[5]{x^3\times x^2}}=


\ \frac{\sqrt[5]{x^2}}{\sqrt[5]{x^5}}=


\frac{\sqrt[5]{x^2}}{x}


Se puede observar cómo se multiplica al denominador y al numerador por la misma cifra, de tal manera que iguale el índice de la raíz ubicada en el denominador para anularla y pasarla hacia el numerador sin cambiar el resultado.

Esto pone fin a la discusión de las operaciones con números irracionales.

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Números Imaginarioshttp://numerosirracionales.com/numeros-imaginarios http://numerosirracionales.com/numeros-imaginarios#comments Sat, 13 Oct 2012 09:52:24 +0000 http://numerosirracionales.com/?p=12 A pesar de que Descartes originalmente usaba el término “números imaginarios” para referirse a lo que hoy en día se conoce como números complejos, el uso común en la actualidad de los números imaginarios significa un número complejo cuya parte real es igual a cero. Para clarificar y evitar confusiones, tales números muchas veces son […]

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A pesar de que Descartes originalmente usaba el término “números imaginarios” para referirse a lo que hoy en día se conoce como números complejos, el uso común en la actualidad de los números imaginarios significa un número complejo cuya parte real es igual a cero. Para clarificar y evitar confusiones, tales números muchas veces son mejor llamados números imaginarios puros.

René Descartes acuñó esté termino durante sus estudios en el Siglo XVII, pero sus intenciones eran dar a ciertos números complejos un carácter despectivo, pero luego pasó a ser un eje fundamental
(literalmente) en lo que posteriormente sería el plano cartesiano. Pues, en este plano los ejes cartesianos reales se encuentran en el eje X de forma horizontal y los imaginarios en el Y del eje vertical complejo.

Definición de números imaginarios

números imaginariosSurge la pregunta ¿qué es un número imaginario? Para dar de los números imaginarios una definición, podríamos decir que es un número cuya potenciación es negativa. Es decir que cuando se eleva al cuadrado o se multiplica por sí mismo, su resultado es negativo.

Si se eleva al cuadrado a cualquier otro número real su resultado siempre será positivo. Por ejemplo cinco al cuadrado o 5², es decir 5 × 5 da como resultado 25. En su defecto, -5² a pesar de ser un número negativo su resultado también será positivo debido a que -5 × -5 anula su negatividad y da como resultado 25.

Por lo tanto un número potenciado que de resultado negativo solo puede suceder en la imaginación, pero a pesar de parecer imposibles los números complejos e imaginarios son muy útiles y tienen una utilidad real para resolver problemas que de otra manera serían un fracaso.

Unidad y símbolo de los números imaginarios

Su símbolo común y frecuente es el del número imaginario \mathbb{I} siendo la inicial de “imaginario” y casi siempre va acompañado de un número real para denotar sus distintas propiedades de números imaginarios y expresar de forma particular la suma de un número real y de un número imaginario.

Sin embargo en ciertos campos, en especial los relacionados con la electricidad, a esta unidad imaginaria se la representa de manera diferente para poder clasificarla y no confundirla con el símbolo de la corriente alterna que se denota usualmente con la letra i, por lo tanto en estos campos también se puede encontrar a los números imaginarios representados con la letra j, sin cambiar de ninguna manera sus propiedades o resultados.

La unidad de los números imaginarios, al igual que es tratado con los números reales en cuyo caso es uno o 1, viene a ser √-1 o raíz cuadrada de uno negativo. Está denominación nació en el siglo XVIII debido a que Leonard Euler quería nombrar a los números imaginarios de manera desdeñosa dándole una denominación que se entiende como un objeto inexistente.

Propiedades de los números imaginarios

Para la suma, encontramos que:
La suma de los números imaginarios es cerrada, lo cual significa que si se suman dos números imaginarios, el resultado también será un número imaginario.

Tiene una propiedad conmutativa, el orden de los sumandos no altera la adición.

También una propiedad distributiva, donde la suma de dos números multiplicada por un tercer número es igual a la suma del producto de cada sumando multiplicado por el tercer número.

Durante la sustracción, por cada número imaginario, existe un número negativo cuya adición dará como resultado cero.

Existe un número neutro que al ser sumado a cualquier número, el resultado será el mismo número.

Mientras que para la multiplicación o producto encontramos que:

El producto, al igual que la suma, también es cerrado, lo cual significa que al multiplicar números complejos entre sí, el resultado también es un número imaginario puro.

En este caso hay una propiedad conmutativa, que dice que si se altera el orden de los números complejos e imaginarios, no se altera el resultado.

También posee una propiedad distributiva.

Y por cada número imaginario también existe un inverso multiplicativo cuyo resultado del producto de ambos, es igual a 1.

De la misma manera para la raíz cuadrada de cualquier número real negativo el resultado siempre será un número imaginario.

Partiendo de tal premisa, podemos anotar lo siguiente: √-25 = √25 × -1 = √25 √-1 = 5i

A continuación se ofrecen varios ejemplos con números imaginarios, a partir de las propiedades anteriormente mencionadas.

Ejemplos de números imaginarios

Como ejemplos de números complejos tenemos:

Ejemplos de las propiedades de la suma

Propiedad cerrada: 3i + 4i = 7i.
Propiedad conmutativa: 2i + 4i = 4i + 2i.
Propiedad distributiva: (6i + 4i) × 5i = (6i ×5i) + (4i × 5i).
Número neutro: 8i + 0 = 8i.
Elemento opuesto o inverso aditivo: 3i -3i = 0.

Ejemplos en el producto o multiplicación

Propiedad conmutativa: (6i) (3i) = (3i) (6i) o lo que es lo mismo 6i × 3i = 3i × 6i.
Propiedad distributiva: 3i × (5i × 4i) = (3i × 5i) × 4i.
Elemento opuesto o Inverso multiplicativo: 4i × 1/4i = 1.

Ejemplo de las propiedades de la potenciación

Unidad imaginaria: √-1 = i. Esta es la propiedad que define al número imaginario i.

Utilidad de los números imaginarios

El uso de los números imaginarios puede estar presente en muchos campos, pero principalmente lo podemos encontrar en el teorema fundamental de álgebra para encontrar la raíz cuadrada de números negativos.

Profesionalmente se lo utiliza en campos relacionados con la electricidad, donde utilicen la teoría de circuitos y para calcular la corriente alterna, para así permitir el tratamiento de magnitudes, que a pesar de poseer números imaginarios, dicha corriente existe y es tan tangible, así como peligrosa si no se maneja con el debido cuidado. Y en física cuántica para explicar de manera más simple los estados cuánticos variables del tiempo.

Operaciones con números imaginarios

Suma
Para hacer operaciones con números imaginarios, en este caso la suma, seguimos las reglas básicas de la matemática agrupando los números reales y los números imaginarios respectivamente.

(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i

Como ejemplo tenemos:
(5+3i)+(2+6i) = (5+2)+(3i+6i) = 7+9i

Sustracción
Para realizar la sustracción, también se deben agrupar los números imaginarios y reales. Por ejemplo:
(5-2i)-(2+6i) = (5-2)+(-2i-6i) = 3-8i

Multiplicación
Para la multiplicación debemos multiplicar cada término del primer factor por los del segundo.
(a+bi)(c+di) = ac+adi+bci+bdi² = (ac-bd)+(ad+bc)i

Podemos observar que el elemento bdi² se convierte en –bd por la
propiedad de los números imaginarios en la cual i² es igual a -1.

Como ejemplo tenemos:
(3+2i)(6+7i) = 18+21i+12i+14i² = (18-14)+(21+12)i = 4+33i

División
En los números imaginarios, la división es más complicada pues se debe multiplicar el numerador y el denominador por el conjugado del denominador, siendo las siguientes operaciones correspondientes:

Como ejemplo de divisiones de números imaginarios tenemos:

Potencias
En la potenciación de números imaginarios, existen equivalencias e identidades que serían las siguientes:

i⁰=1
i¹=i
i²=-1
i³=-i
i⁴=1

Estas notaciones se van repitiendo cada cuatro números, lo cual quiere decir que para saber cuál es un determinado valor de la potencia de un número imaginario o complejo, debemos dividir el exponente entre cuatro y el resto del exponente es la potencia equivalente según las identidades notables que anotamos anteriormente.

Por ejemplo: i²⁶

Tomamos 26 y dividimos para 4, lo que nos da: 6×4+2=26
Sabiendo entonces que 2 es el exponente indicado según su equivalencia, decimos que:
i²⁶ = (i⁴)⁶ × i² = 1⁶ × -1 = -1

Intenta averiguar cuál es el resultado de i²⁷.

Fuente de la imagen Números Imaginarios: Wikimedia Commons/Oleg Alexandrov

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