Números Imaginarios

A pesar de que Descartes originalmente usaba el término “números imaginarios” para referirse a lo que hoy en día se conoce como números complejos, el uso común en la actualidad de los números imaginarios significa un número complejo cuya parte real es igual a cero. Para clarificar y evitar confusiones, tales números muchas veces son mejor llamados números imaginarios puros.

René Descartes acuñó esté termino durante sus estudios en el Siglo XVII, pero sus intenciones eran dar a ciertos números complejos un carácter despectivo, pero luego pasó a ser un eje fundamental
(literalmente) en lo que posteriormente sería el plano cartesiano. Pues, en este plano los ejes cartesianos reales se encuentran en el eje X de forma horizontal y los imaginarios en el Y del eje vertical complejo.

Definición de números imaginarios

números imaginariosSurge la pregunta ¿qué es un número imaginario? Para dar de los números imaginarios una definición, podríamos decir que es un número cuya potenciación es negativa. Es decir que cuando se eleva al cuadrado o se multiplica por sí mismo, su resultado es negativo.

Si se eleva al cuadrado a cualquier otro número real su resultado siempre será positivo. Por ejemplo cinco al cuadrado o 5², es decir 5 × 5 da como resultado 25. En su defecto, -5² a pesar de ser un número negativo su resultado también será positivo debido a que -5 × -5 anula su negatividad y da como resultado 25.

Por lo tanto un número potenciado que de resultado negativo solo puede suceder en la imaginación, pero a pesar de parecer imposibles los números complejos e imaginarios son muy útiles y tienen una utilidad real para resolver problemas que de otra manera serían un fracaso.

Unidad y símbolo de los números imaginarios

Su símbolo común y frecuente es el del número imaginario i siendo la inicial de “imaginario” y casi siempre va acompañado de un número real para denotar sus distintas propiedades de números imaginarios y expresar de forma particular la suma de un número real y de un número imaginario.

Sin embargo en ciertos campos, en especial los relacionados con la electricidad, a esta unidad imaginaria se la representa de manera diferente para poder clasificarla y no confundirla con el símbolo de la corriente alterna que se denota usualmente con la letra i, por lo tanto en estos campos también se puede encontrar a los números imaginarios representados con la letra j, sin cambiar de ninguna manera sus propiedades o resultados.

La unidad de los números imaginarios, al igual que es tratado con los números reales en cuyo caso es uno o 1, viene a ser √-1 o raíz cuadrada de uno negativo. Está denominación nació en el siglo XVIII debido a que Leonard Euler quería nombrar a los números imaginarios de manera desdeñosa dándole una denominación que se entiende como un objeto inexistente.

Propiedades de los números imaginarios

Para la suma, encontramos que:
La suma de los números imaginarios es cerrada, lo cual significa que si se suman dos números imaginarios, el resultado también será un número imaginario.

Tiene una propiedad conmutativa, el orden de los sumandos no altera la adición.

También una propiedad distributiva, donde la suma de dos números multiplicada por un tercer número es igual a la suma del producto de cada sumando multiplicado por el tercer número.

Durante la sustracción, por cada número imaginario, existe un número negativo cuya adición dará como resultado cero.

Existe un número neutro que al ser sumado a cualquier número, el resultado será el mismo número.

Mientras que para la multiplicación o producto encontramos que:

El producto, al igual que la suma, también es cerrado, lo cual significa que al multiplicar números complejos entre sí, el resultado también es un número imaginario puro.

En este caso hay una propiedad conmutativa, que dice que si se altera el orden de los números complejos e imaginarios, no se altera el resultado.

También posee una propiedad distributiva.

Y por cada número imaginario también existe un inverso multiplicativo cuyo resultado del producto de ambos, es igual a 1.

De la misma manera para la raíz cuadrada de cualquier número real negativo el resultado siempre será un número imaginario.

Partiendo de tal premisa, podemos anotar lo siguiente: √-25 = √25 × -1 = √25 √-1 = 5i

A continuación se ofrecen varios ejemplos con números imaginarios, a partir de las propiedades anteriormente mencionadas.

Ejemplos de números imaginarios

Como ejemplos de números complejos tenemos:

Ejemplos de las propiedades de la suma

Propiedad cerrada: 3i + 4i = 7i.
Propiedad conmutativa: 2i + 4i = 4i + 2i.
Propiedad distributiva: (6i + 4i) × 5i = (6i ×5i) + (4i × 5i).
Número neutro: 8i + 0 = 8i.
Elemento opuesto o inverso aditivo: 3i -3i = 0.

Ejemplos en el producto o multiplicación

Propiedad conmutativa: (6i) (3i) = (3i) (6i) o lo que es lo mismo 6i × 3i = 3i × 6i.
Propiedad distributiva: 3i × (5i × 4i) = (3i × 5i) × 4i.
Elemento opuesto o Inverso multiplicativo: 4i × 1/4i = 1.

Ejemplo de las propiedades de la potenciación

Unidad imaginaria: √-1 = i. Esta es la propiedad que define al número imaginario i.

Utilidad de los números imaginarios

El uso de los números imaginarios puede estar presente en muchos campos, pero principalmente lo podemos encontrar en el teorema fundamental de álgebra para encontrar la raíz cuadrada de números negativos.

Profesionalmente se lo utiliza en campos relacionados con la electricidad, donde utilicen la teoría de circuitos y para calcular la corriente alterna, para así permitir el tratamiento de magnitudes, que a pesar de poseer números imaginarios, dicha corriente existe y es tan tangible, así como peligrosa si no se maneja con el debido cuidado. Y en física cuántica para explicar de manera más simple los estados cuánticos variables del tiempo.

Operaciones con números imaginarios

Suma
Para hacer operaciones con números imaginarios, en este caso la suma, seguimos las reglas básicas de la matemática agrupando los números reales y los números imaginarios respectivamente.

(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i

Como ejemplo tenemos:
(5+3i)+(2+6i) = (5+2)+(3i+6i) = 7+9i

Sustracción
Para realizar la sustracción, también se deben agrupar los números imaginarios y reales. Por ejemplo:
(5-2i)-(2+6i) = (5-2)+(-2i-6i) = 3-8i

Multiplicación
Para la multiplicación debemos multiplicar cada término del primer factor por los del segundo.
(a+bi)(c+di) = ac+adi+bci+bdi² = (ac-bd)+(ad+bc)i

Podemos observar que el elemento bdi² se convierte en –bd por la
propiedad de los números imaginarios en la cual i² es igual a -1.

Como ejemplo tenemos:
(3+2i)(6+7i) = 18+21i+12i+14i² = (18-14)+(21+12)i = 4+33i

División
En los números imaginarios, la división es más complicada pues se debe multiplicar el numerador y el denominador por el conjugado del denominador, siendo las siguientes operaciones correspondientes:

Como ejemplo de divisiones de números imaginarios tenemos:

Potencias
En la potenciación de números imaginarios, existen equivalencias e identidades que serían las siguientes:

i⁰=1
i¹=i
i²=-1
i³=-i
i⁴=1

Estas notaciones se van repitiendo cada cuatro números, lo cual quiere decir que para saber cuál es un determinado valor de la potencia de un número imaginario o complejo, debemos dividir el exponente entre cuatro y el resto del exponente es la potencia equivalente según las identidades notables que anotamos anteriormente.

Por ejemplo: i²⁶

Tomamos 26 y dividimos para 4, lo que nos da: 6×4+2=26
Sabiendo entonces que 2 es el exponente indicado según su equivalencia, decimos que:
i²⁶ = (i⁴)⁶ × i² = 1⁶ × -1 = -1

Intenta averiguar cuál es el resultado de i²⁷.

Fuente de la imagen Números Imaginarios: Wikimedia Commons/Oleg Alexandrov