Operaciones con Números Irracionales

Antes de empezar a sumar, restar, multiplicar, y realizar cualquier tipo de operación con números irracionales, debemos comprender como extraer, e introducir factores dentro de los radicales que serán nuestro principal elemento dentro de estas operaciones.

Extracción de factores

Cuando tenemos radicales cuyos factores puedan ser reducidos o extraídos de la raíz podemos hacerlo siempre y cuando el exponente de la potencia sea igual o mayor que la raíz. En primer lugar ofrecemos un número cuyo exponente es mayor al de la raíz, por ejemplo:

\sqrt[3]{x^7}


Seguido de esto, debemos descomponer la potencia en varios factores, en este caso la potencia es 7 y podemos descomponerla en tres partes no iguales, tomando en cuenta que la multiplicación de un número potenciado se debe hacer sumando los potenciales existentes:

\sqrt[3]{{x^3\times x}^3\times x}


A continuación podemos apelar a la propiedad distributiva de los números irracionales (y en general de los radicales):

\sqrt[3]{x^3}\times \sqrt[3]{x^3}\times \sqrt[3]{x}


Luego simplificamos las potencias con las raíces iguales, lo que da como resultado:

x\times x\times \sqrt[3]{x}=x^2\times \sqrt[3]{x}

Cuando un número es lo suficientemente algo para poder descomponerlo por sus factores primos, podemos resolverlo de la siguiente manera, con este ejemplo:

\surd {\rm 72=}\sqrt{{{{\rm 3}}^{{\rm 2}}{\rm \times 2}}^{{\rm 3}}}{\rm =}


Se simplifican el índice de la raíz y el potencial al cuadrado del primer factor.

{\rm 3}\sqrt{{{\rm 2}}^{{\rm 3}}}


Y luego extraemos el factor de la raíz para simplificarla aún más.

{\rm 3\times \ 2}\sqrt{{\rm 2}}{\rm =6}\sqrt{{\rm 2}}

Introducción de factores en números irracionales

Existen dos formas de incluir un factor que está fuera de un radical para simplificar el número y poder solucionar un problema matemático. El primero se hace al aplicar las propiedades de las potencias de los números irracionales. Que se logra al elevar el factor a la potencia de la raíz a la vez que se sustrae la raíz del índice correspondiente, logrando así que el número no se altere al momento de realizar la operación de los números irracionales, aquí ofrecemos un ejemplo:

x^2\times \sqrt[3]{x}=


Primero se introduce y se eleva a la potencia de la raíz como a continuación:

\sqrt[3]{{\left(x^2\right)}^3}\times \sqrt[3]{x}=


En este caso podemos aplicar la propiedad asociativa, quedando nuestra ecuación de la siguiente manera:

\sqrt[3]{{\left(x^2\right)}^3\times x}


Luego aplicamos la operación llamada potencia de potencia, que al multiplicar los potenciales entre sí, nos permite simplificar el paréntesis así:

\sqrt[3]{x^6\times x}


Finalmente realizamos la operación del producto de ambas potencias, sumando los potenciales de cada número, lo cual nos queda:

\sqrt[3]{x^7}


Como segunda opción tenemos una forma más simple de resolver la introducción de factores en los números irracionales, que es un método que se debe practicar para lograr a la perfección, en el cual simplemente se multiplica el exponente de la potencia por el índice de la raíz, tomando en cuenta que si la raíz no tiene un número de índica, automáticamente asumimos que es 2, por ejemplo:

x^3\times \sqrt{x}=\sqrt{x^6\times x}=\sqrt{x^7}

Suma

Para poder sumar o restar los números irracionales, seguimos las reglas básicas de la matemática para la suma y resta de radicales, es decir que solo podemos sumar o restar los números que tienen radicales semejantes. Estos serían posibles números que podemos sumar o restar:

7\sqrt{3}\ ;;\ \frac{3}{4}\sqrt{{\rm 3}}{\rm \ };;{\rm \ -6}\sqrt{{\rm 3}}


Para poder sumar estos números es necesario sumar con las leyes de la algebra, en otras palabras, necesitamos sacar el factor común, que en estos casos es el radical.

7\sqrt{3}+\frac{3}{4}\ \sqrt{3}-6\sqrt{3}=


\sqrt{3}\times \left(7+\frac{3}{4}-6\right)=


\frac{7}{4}\sqrt{3}


En el caso de que los números reales no tengan un radical semejante, el número quedará como una suma, llamada binomio irracional, que se expresa con los radicales dispares sumados:

8\sqrt{3}+4\sqrt{2}


En ocasiones surgen radicales que parecen no tener semejanza, pero al simplificar sus valores y extraer factores podemos llegar a una reducción y a una respuesta adecuada:

3\sqrt{32}-\frac{3}{4}\sqrt{18}+5\sqrt{2}=


3\sqrt{2\times 4^2}-\frac{3}{4}\ \sqrt{2\times 3^2}+5\sqrt{2}=


3\sqrt{4^2}\sqrt{2}-\frac{3}{4}\sqrt{3^2}\sqrt{2}+5\sqrt{2}=


3\times 4\sqrt{2}-\frac{3}{4}3\ \sqrt{2}+5\sqrt{2}=


12\sqrt{2}-\frac{9}{4}\sqrt{2}+5\sqrt{2}=


\frac{48}{4}\sqrt{2}-\frac{9}{4}\sqrt{2}+\frac{20}{4}\sqrt{2}=\frac{59}{4}\sqrt{2}

Multiplicación de números irracionales

En la multiplicación existen dos tipos de operación, la primera tiene que ver con los radicales que tienen un índice semejante, y la otra con radicales con índices diferentes.

Para resolver raíces del mismo índice, simplemente utilizamos la propiedad asociativa, reuniendo los distintos factores bajo el mismo radical, siendo así:

\sqrt[4]{x^2}\times \sqrt[4]{x}=\sqrt[4]{x^2\times x}=\sqrt[4]{x^3}


Para resolver multiplicaciones de índices diferentes, se debe hallar el índice común, utilizando el mínimo común múltiplo para así conseguir cifras semejantes en cada índice. Es decir, que se va multiplicando cada índice por un número determinado para obtener el mínimo común índice, pero para no alterar el resultado, también se deberá multiplicar por el mismo número los potenciales de cada factor dentro del radical correspondiente, es decir que si debo multiplicar el índice de la raíz por cuatro para obtener un mínimo común índice también se debe multiplicar por cuatro cada potencia de los números dentro de la raíz. Para finalmente utilizar la propiedad asociativa de los números irracionales. Por ejemplo:

\sqrt[4]{x^3}\times \sqrt[3]{x^2}=


\sqrt[{4\times 3}]{x^{3\times 3}}\times \sqrt[{3\times 4}]{x^{2\times 5}}=


\sqrt[{12}]{x^9\times x^{10}}=


\sqrt[{12}]{x^{19}}=


x\times \sqrt[{12}]{x^7}

Racionalización de números irracionales

La racionalización es una costumbre matemática, según la cual, en la respuesta final de una operación, no debe quedar un radical en el denominador de una fracción. Es decir, que en un número fraccionario, la mitad inferior debe ser un número entero. La idea es reducir los radicales mediante la extracción o introducción de factores y la multiplicación igualitaria de otro radical tanto en el denominador como en el numerador para anular los radicales del denominador. Tenemos el siguiente caso:

\frac{1}{\sqrt[5]{x^3}}=


\frac{1}{\sqrt[5]{x^3}}\times \frac{\sqrt[5]{x^2}}{\sqrt[5]{x^2}}=


\frac{\sqrt[5]{x^2}}{\sqrt[5]{x^3\times x^2}}=


\ \frac{\sqrt[5]{x^2}}{\sqrt[5]{x^5}}=


\frac{\sqrt[5]{x^2}}{x}


Se puede observar cómo se multiplica al denominador y al numerador por la misma cifra, de tal manera que iguale el índice de la raíz ubicada en el denominador para anularla y pasarla hacia el numerador sin cambiar el resultado.